Geometría

Francisco Narváez

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

GEOMETRÍA

Es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las formas, tamaños, posiciones y propiedades de los objetos en el espacio. Se centra en el análisis de las relaciones espaciales entre puntos, líneas, superficies, figuras y cuerpos sólidos. La geometría se divide en varias ramas, entre las que se incluyen:

Geometría euclidiana o geometría plana: Se enfoca en el estudio de las figuras y propiedades geométricas en un plano, es decir, en dos dimensiones.

Geometría del espacio o geometría tridimensional: Se ocupa del estudio de las figuras y propiedades geométricas en el espacio tridimensional, considerando longitudes, áreas, volúmenes y otras características de objetos en tres dimensiones.

Geometría analítica: Emplea técnicas algebraicas para estudiar las propiedades geométricas de objetos y figuras. Utiliza coordenadas y ecuaciones para describir y analizar líneas, curvas y formas geométricas.

Geometría proyectiva: Se ocupa del estudio de las propiedades geométricas que permanecen invariantes bajo proyecciones, transformaciones y cambios de perspectiva.

Geometría diferencial: Examina las propiedades geométricas de curvas y superficies utilizando métodos del cálculo diferencial y la teoría de variedades.

GEOMETRÍA PLANA

La geometría plana, también conocida como geometría euclidiana, es una rama de la geometría que se enfoca en el estudio de las figuras y propiedades geométricas en un plano, es decir, en dos dimensiones.

En la geometría plana, los objetos geométricos son representados como puntos, líneas, ángulos, polígonos, círculos y otras figuras que se encuentran en un mismo plano.

Las características distintivas de la geometría plana incluyen la definición de puntos, líneas y planos, así como conceptos fundamentales como la congruencia, semejanza, paralelismo, perpendicularidad, ángulos, áreas y perímetros de figuras planas.

SISTEMAS DE MEDIDAS

Existen varios sistemas de medidas utilizados en diferentes partes del mundo y para diferentes propósitos. Algunos de los sistemas de medidas más comunes son:

Sistema Métrico Decimal (SI): Es el sistema internacional de unidades utilizado en la mayoría de los países del mundo. Se basa en unidades fundamentales como el metro para longitud, el kilogramo para masa, el segundo para tiempo, el amperio para corriente eléctrica, el kelvin para temperatura, el mol para cantidad de sustancia y la candela para intensidad luminosa. Se creó en 1960 en la $11^a$ Conferencia General de Pesas y Medidas en París, Francia.
Sistema Inglés o Anglosajón: Utilizado principalmente en el Reino Unido y sus antiguas colonias. Incluye unidades como la pulgada, el pie, la yarda y la milla para longitud; la libra para masa; el galón para volumen, entre otras.
Sistema de Unidades Técnicas (CGS): Se basa en centímetros, gramos y segundos como unidades fundamentales para longitud, masa y tiempo respectivamente. Es comúnmente utilizado en ciencias físicas y técnicas.
Sistema de Unidades Técnicas Internacional (SIPT): Similar al sistema SI, pero utiliza centímetros, gramos y segundos como unidades fundamentales.

UNIDADES DE LONGITUD

La unidad principal para medida de longitudes es el metro, que se representa por m. Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro, las palabras griegas indicadas en la tabla tales como Deca, Hecto y Kilo, entre otras que significan diez, cien y mil respectivamente, y los submúltiplos que se forman anteponiendo las palabras griegas deci, centi y mili, entre otras, que significan décima, centésima y milésima parte respectivamente.

Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez. Los múltiplos y submúltiplos más usuales del metro son:

Note

El problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.

En un reallity se ha colocado la prueba de encontrar un cofre con unas monedas enterrado en una isla, para ello a los participantes se les ha dado un mapa. El mapa establece que desde la orilla se deben recorrer 5,2Km hacia el este, luego 16,4 Dm hacia el norte y por último 2.500cm al oeste. ¿Cuantos metros deberán recorrer en total los participantes desde la orilla para llegar hasta el cofre?

Para calcular la distancia total que deben recorrer los participantes desde la orilla hasta el cofre, primero necesitamos convertir todas las medidas a la misma unidad de longitud, en este caso, metros.

5,2 km a metros: $( 5,2 \, \text{km} \times 1000 \, \text{m/km} = 5200 \, \text{m} )$

16,4 dm a metros: $( 16,4 \, \text{dm} \times 0,1 \, \text{m/dm} = 1,64 \, \text{m} )$

2.500 cm a metros: $( 2500 \, \text{cm} \times 0,01 \, \text{m/cm} = 25 \, \text{m} )$

Ahora sumamos todas las distancias:

$[ 5200 \, \text{m} + 1,64 \, \text{m} + 25 \, \text{m} = 5226,64 \, \text{m} ]$

Por lo tanto, los participantes deberán recorrer un total de 5226,64 metros desde la orilla hasta el cofre.

PERÍMETRO

El perímetro es una medida que se utiliza en geometría para calcular la longitud de la frontera de una figura plana. Básicamente, representa la suma de las longitudes de todos los lados de la figura.

En el caso de figuras regulares, como cuadrados, rectángulos y círculos, el perímetro puede calcularse fácilmente multiplicando la longitud de un lado por el número de lados.

Por ejemplo:

El perímetro de un cuadrado es $(4 \times \text{longitud del lado})$.
El perímetro de un rectángulo es $(2 \times (\text{longitud} + \text{ancho}))$.
El perímetro de un círculo es $(2 \pi \times \text{radio})$.

Se desea cercar un lote de forma rectangular que mide 300 m de largo, 200 m con 70 cm de ancho. Se requiere para esto un cercado con cuatro hileras de alambre de púas cuyo precio por metro lineal es de $700. ¿Cuántos metros de alambre se requieren y cuánto dinero se requiere para comprar dicho alambre?

Para calcular la cantidad de alambre necesaria, primero determinemos el perímetro del lote, que es la suma de las longitudes de los cuatro lados.

El lote tiene dos lados de 300 metros y dos lados de 200 metros y 70 centímetros. Para facilitar los cálculos, convertiremos los 70 centímetros a metros.

1 metro = 100 centímetros

Entonces, 70 centímetros equivalen a $(70/100 = 0.7)$ metros.

Ahora podemos calcular el perímetro:

\[\text{Perímetro} = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho})\]

\[\text{Perímetro} = 2 \times (300\, \text{m} + 200\, \text{m} + 0.7\, \text{m})\]

\[\text{Perímetro} = 2 \times (500.7\, \text{m})\]

\[\text{Perímetro} = 1001.4\, \text{m}\]

Entonces, se necesitan $1001.4$ metros de alambre de púas.

Ahora, para calcular el costo total, multiplicamos la cantidad de alambre requerida por el precio por metro lineal:

\[\text{Costo total} = \text{Cantidad de alambre} \times \text{Precio por metro lineal}\]

\[\text{Costo total} = 1001.4\, \text{m} \times \$700/\text{m}\]

\[\text{Costo total} = \$700,980\]

Por lo tanto, se requieren $1001.4$ metros de alambre de púas y el costo total para comprar este alambre sería de $700,980.

UNIDADES DE SUPERFICIE Y ÁREA

Son unidades de medida que permiten medir la extensión o área de un territorio. En el sistema internacional de unidades la principal unidad de superficie es el metro cuadrado, que se representa como $m^2$ . Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 100 veces menor que la unidad inmediata superior.

Convertir 1.5 $hm^2$ en $m^2$

Tenemos que multiplicar, porque el $hm^2$ es mayor que el $m^2$; por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay dos lugares entre ambos (cada lugar son dos ceros).

\[1,5 hm^2 \times 10.000 (m^2/hm^2)= 15.000 m^2\]

Convertir $15.000 mm^2$ en $m^2$

Tenemos que dividir, porque el $mm^2$ es menor que el $m^2$, por la unidad seguida de seis ceros, ya que hay tres lugares entre ambos.

\[15.000 mm^2 ÷ 1.000.000(m^2/mm^2) = 0,015 m^2\]

AREA DE FIGURAS

El área de una figura es la medida de su superficie, es decir su región interior. El cálculo del área de una figura varía según la forma de cada una.

Calcula el número de baldosas cuadradas, de $10 cm$, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de $4 m$ de largo y $9 m$ de ancho.

Las baldosas tienen formas de un cuadrado de lado $l = 10cm$ por lo tanto área de cada baldosa es:

\[Area=l×l\] \[A=10 cm\times 10 cm=100 cm^2\]

Se convierten los $cm^2$ a $𝑚^2$, entonces

\[100cm^2=(100 m^2)/10.000=0.01 m^2\]

La superficie que se va a embaldosar tiene forma de un rectángulo, por lo tanto, su área viene dada por \[A=largo\times ancho\]

Donde $L=4 𝑚$ y $a=9 𝑚$, remplazando valores se tiene \[A=4 m \times 9 m=36 m^2\]

Ahora se divide el área de la superficie por el área de la baldosa \[(36 m^2)/(0.01m^2 )=3.600\]

Por lo tanto, se necesitan 3.600 baldosas para enlosar la superficie.

UNIDADES DE VOLUMEN

La unidad de estas medidas es el metro cúbico, que es un cubo que tiene de arista un metro lineal y se representa por $m^3$. Estas medidas aumentan y disminuyen de mil en mil. Los múltiplos y submúltiplos del m3 son:

https://educapedia.org/el-calculo-de-volumenes/

En un almacén de dimensiones $5m$ de largo, $3m$ de ancho y $2m$ de alto queremos almacenar cajas de dimensiones $10 dm$ de largo, $6 dm$ de ancho y $4 dm$ de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?

Inicialmente hallamos el volumen de cada caja.

\[\textit{Volumen caja} = 10 𝑑𝑚 \times 6 𝑑𝑚 \times 4 𝑑𝑚 = 240 𝑑𝑚^3\] El valor obtenido lo pasamos a $m^3$

\[\textit{𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝐶𝑎𝑗𝑎} = 240 𝑑𝑚^3 \times 1 𝑚^3 \times 1 000 𝑑𝑚^3 = 0.24 𝑚^3\] Ahora hallamos espacio total del almacén

\[\textit{V𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝐴𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛} = 5 𝑚 \times 3 𝑚 \times 2 𝑚 = 30 𝑚^3\]

Dividimos el volumen del almacén por el de cada caja

\[\frac{\textit{Volumen Almacen}}{\textit{volumen Caja}}= \frac{30 m^3}{0,24 m^3}= 125\]