Medidas Estadísticas

Francisco Narváez

En estadística, las medidas son herramientas utilizadas para resumir y describir un conjunto de datos. Estas medidas nos ayudan a entender la distribución y las características importantes de los datos. Algunas de las medidas más comunes en estadística incluyen:

Medidas de tendencia central: son valores que representan o describen el centro de un conjunto de datos. Nos permiten resumir grandes volúmenes de datos y describir qué es “típico” o “promedio” en una distribución.
Medidas de dispersión: Estas medidas indican la variabilidad o dispersión de los datos alrededor de la medida central. Ejemplos comunes incluyen el rango, la desviación estándar y la varianza.
Medidas de posición: Estas medidas indican la posición relativa de un valor dentro de un conjunto de datos. La más común es el percentil.
Medidas de forma: Estas medidas describen la forma de la distribución de los datos. Por ejemplo, la simetría y la apuntamiento (o curtosis).
Medidas de asociación: Estas medidas cuantifican la relación entre dos variables en un conjunto de datos. Ejemplos comunes incluyen la correlación y la covarianza.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son estadísticas que nos dan una idea de dónde se concentran los datos en torno a un valor central. Las tres medidas de tendencia central más comunes son la media, la mediana y la moda.

Media: Representa la suma de los números en la población, dividido entre la cantidad total de números que hay.

\[\displaystyle\mu=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}X_i \quad \textit{Media Poblacional}\] \[\overline X=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}X_i \quad \textit{Media Muestral}\]

La media es simplemente el promedio aritmético de todos los valores en un conjunto de datos. Se calcula sumando todos los valores y dividiendo por el número total de valores. Por ejemplo, si tenemos los números 2, 3, 5, 7 y 10, la media sería (2 + 3 + 5 + 7 + 10) / 5 = 5.4.

La media presenta una desventaja y es que se ve afectada por los valores extremo. Estos valores pueden causar que la representación de los datos no sea la adecuada.

Mediana: Al igual que la media, representa una medida de tendencia central de los datos. La mediana es el valor que se encuentra en el centro de un conjunto de datos ordenados de menor a mayor (o viceversa). Si hay un número impar de datos, la mediana es el valor en la posición central. Si hay un número par de datos, la mediana es la media de los dos valores centrales. Por ejemplo, si tenemos los números 3, 5, 6, 8, 9, la mediana sería 6. Si tenemos los números 2, 3, 5, 7, la mediana sería (3 + 5) / 2 = 4.

Si \(n\) es impar, la mediana muestral es el número en la posición \(\displaystyle\frac{n+1}{2}\)
Si \(n\) es par, la mediana muestral representa el promedio de los números en las posiciones \(\displaystyle\frac{n}{2}\) y \(\displaystyle\frac{n}{2}+1\)

La mediana presenta una desventaja y es que no recoge información de todos los datos.

Moda: La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Puede haber una moda (cuando un valor se repite más que cualquier otro), varias modas (cuando varios valores tienen la misma frecuencia máxima) o ninguna moda (cuando todos los valores tienen la misma frecuencia). Por ejemplo, si tenemos los números 2, 3, 3, 5, 7, la moda sería 3.

Estas medidas son útiles para resumir la distribución de los datos y proporcionar una representación simplificada de los mismos.

Para ciertas muestras pequeñas, se le determina fácilmente y, en general, no se ve afectada por los valores extremos al final de un conjunto de datos ordenados. Cuando se analizan datos categóricos, la moda es el único dato de tendencia central que puede utilizarse. Finalmente, la moda puede usarse como una medida de tendencia central para datos numéricos empleados en sentido categórico. Una moda para datos en una tabla de frecuencia, se encuentra localizando el valor de frecuencia máxima, si no todas las frecuencias son iguales. El dato que corresponde al valor de frecuencia máxima se toma como la moda. [Llinás y col(2005)]

En una clase de pedagogía infantil se registraron las edades de los niños que asistieron a un evento especial. Las edades son las siguientes: 3 años, 4 años, 3 años, 5 años, 6 años, 3 años, 4 años, 3 años, 5 años, 4 años, 10 años.

Con esta información calcule las medidas de tendencia central vistas en clase

\(\textit{Media} = \displaystyle\frac{3 + 4 + 3 + 5 + 6 + 3 + 4 + 3 + 5 + 4 + 10}{11} = \frac{50}{11} \approx 4.55 \text{ años}\)

Para calcular la mediana debemos ordenar los datos.

Edades ordenadas: 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 10

Como hay 11 edades, entonces \(n\) es impar por lo tanto debemos buscar la posición \(\displaystyle\frac{n+1}{2}\) que en este caso sería \(\displaystyle\frac{11+1}{2}=6\)

Se debe tener en cuenta que la mediana no es 6. Se debe ubicar la posición luego de ordenar los datos

Edades ordenadas: 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6,10

La moda corresponde al dato con mayor frecuencia absoluta, es decir el dato que más se repite en este caso la moda sería 3.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EN TABLAS DE FRECUENCIA

Media para datos agrupados

\[\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_if_i\]

Donde,

\(x_i\) es la marca de clase \(i\).
\(f_i\) es la frecuencia de cada intervalo de clase.

Mediana para datos agrupados \[M_e=L_i+\frac{\frac{n}{2}-F_{i-1}}{f_i}.A_i\] Donde,

\(Li\): Límite inferior del intervalo en el cuál se encuentra la mediana.
\(n\): tamaño de la muestra. Sumatoria de las frecuencias absolutas.
\(F_{i-1}\): Frecuencia acumulada del intervalo anterior al que se encuentra la mediana.
\(Ai\): Amplitud del intervalo en el que se encuentra la mediana.
\(fi\): Frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra la mediana

Moda para datos agrupados

\[M_o=L_i+\frac{f_i-f_{i-1}}{(f_i-f_{i-1})+(f_i-f_{i+1})}.A_i\]

Medida	Definición	Ventajas	Desventajas
Media	La media es el promedio aritmético, obtenido al sumar todos los valores y dividir por el número total de observaciones.	Utiliza todos los valores, fácil de calcular y útil para datos simétricos.	Afectada por valores extremos (outliers), no siempre representa bien datos sesgados.
Mediana	La mediana es el valor central de un conjunto de datos ordenados. Si el número de observaciones es impar, es el valor medio; si es par, es el promedio de los dos valores centrales.	No se ve afectada por valores extremos, buena para datos sesgados.	No utiliza todos los valores del conjunto de datos, puede no ser tan representativa como la media.
Moda	La moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Un conjunto puede tener más de una moda (bimodal o multimodal) o no tener ninguna moda si todos los valores son únicos.	Útil para datos categóricos, identifica valores comunes en el conjunto de datos.	No siempre existe o puede haber más de una moda, no es útil para todos los tipos de datos.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión son herramientas estadísticas que nos permiten cuantificar la variabilidad o dispersión de un conjunto de datos. Algunas de las medidas de dispersión más comunes incluyen:

Rango: Es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo en un conjunto de datos. Es una medida de dispersión, pero rara vez se usa, porque depende solamente de los dos valores extremos y no proporciona ninguna información acerca del resto de la muestra. (Navidi,2006)
Varianza poblacional: La varianza poblacional se denota por \(\boldsymbol{\sigma^2}\) y se calcula como la media de los cuadrados de las desviaciones de cada valor respecto a la media poblacional. Matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

\[\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (X_i - \mu)^2\]

donde N es el tamaño de la población, \(\boldsymbol{X_i}\) es cada valor en la población, y \(\boldsymbol{\mu}\) es la media poblacional.

Varianza muestral: La varianza muestral se denota por \(\boldsymbol{s^2}\) y se calcula de manera similar a la varianza poblacional, pero utilizando la media muestral en lugar de la media poblacional. Matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

\[s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\]

donde n es el tamaño de la muestra, \(\boldsymbol{x_i}\) es cada valor en la muestra, y \(\boldsymbol{\bar{x}}\) es la media muestral.

La diferencia clave entre la varianza poblacional y la varianza muestral radica en el divisor utilizado en el cálculo. La varianza poblacional divide por el tamaño de la población N, mientras que la varianza muestral divide por el tamaño de la muestra menos uno n-1. Esta diferencia en el divisor se debe a que la varianza muestral es una estimación de la varianza poblacional y utiliza el grado de libertad corregido para corregir el sesgo muestral.

Desviación estándar poblacional

Sea \(\sigma^2\) la varianza poblacional, se define la desviación estándar, denotada, \(\sigma\) , así: \[\sigma=\sqrt{\sigma^2}\]

Desviación estándar muestral

Sea \(s^2\) la varianza en una muestra de tamaño \(n\), se define la desviación estándar, denotada, \(s\), así:

\[s= \sqrt{s^2}\]

Coeficiente de variación: Es la desviación estándar dividida por la media, expresada como un porcentaje. Se utiliza para comparar la variabilidad relativa entre dos o más conjuntos de datos con diferentes escalas o unidades.

Estas medidas nos ayudan a entender cuánto varían los datos en torno a su media, lo cual es crucial para interpretar la distribución y la consistencia de los datos.

Denotado \(C.V\) , se define como \[C.V.P = \frac{\sigma}{\mu}\] \[C.V.M = \frac{s}{\overline x}\]

Si el coeficiente es próximo al 0, significa que existe poca variabilidad en los datos y es una muestra muy compacta. En cambio, si tienden a 1 es una muestra muy dispersa y la media pierde confiabilidad. De hecho, cuando el coeficiente de variación supera el 30% (0,3) se dice que la media es poco representativa.

MEDIDAS DE POSICIÓN

Las medidas de posición son valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en partes iguales o en proporciones específicas. Las medidas de posición más comunes son la mediana, los cuartiles y los percentiles.

Mediana: La mediana es el valor que divide a un conjunto de datos en dos partes iguales. Para calcularla, primero se ordenan los datos de menor a mayor y luego se selecciona el valor que está en el centro de la distribución. Si hay un número impar de datos, la mediana es el valor central; si hay un número par de datos, la mediana es el promedio de los dos valores centrales.
Cuartiles: Los cuartiles dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. El primer cuartil (Q1) es el valor que deja el 25% de los datos por debajo y el 75% por encima; el segundo cuartil (Q2) es la mediana; y el tercer cuartil (Q3) es el valor que deja el 75% de los datos por debajo y el 25% por encima.
Percentiles: Los percentiles son valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en 100 partes iguales. Por ejemplo, el percentil 25 (P25) es el valor por debajo del cual cae el 25% de los datos y el percentil 75 (P75) es el valor por debajo del cual cae el 75% de los datos. Otros percentiles comunes son el percentil 10 (P10), el percentil 90 (P90), etc.

Estas medidas de posición son útiles para comprender la distribución de los datos y para identificar valores atípicos o extremos en un conjunto de datos.

La interpretación de las medidas de posición depende del contexto de los datos y del objetivo del análisis. Aquí hay algunas pautas generales para interpretar las medidas de posición más comunes:

Mediana: La mediana es útil cuando se quiere entender el valor central de un conjunto de datos, especialmente cuando la distribución de los datos no es simétrica o cuando hay valores atípicos. Si la mediana es similar a la media, significa que los datos están distribuidos de manera uniforme. Si son muy diferentes, podría indicar que hay valores atípicos que afectan la media.
Cuartiles: Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes iguales y proporcionan información sobre la dispersión de los datos y la presencia de valores atípicos.
Percentiles: Los percentiles son útiles para comparar un valor específico con el resto de los datos. Por ejemplo, si un estudiante obtiene un puntaje en el percentil 75 en un examen, significa que ha superado al 75% de los estudiantes en ese examen. Los percentiles también son útiles para identificar valores atípicos. Si un dato está en el percentil 90 o superior, podría considerarse un valor atípico o extremo.

En resumen, las medidas de posición proporcionan información sobre la ubicación y la dispersión de los datos, así como sobre la presencia de valores atípicos. Interpretar estas medidas requiere considerar el contexto específico de los datos y los objetivos del análisis.

MEDIDAS DE FORMA

Las medidas de forma son estadísticas que nos permiten describir la forma de la distribución de los datos. Las medidas de forma más comunes son la simetría y la apuntamiento (o curtosis).

Simetría: Indica si la distribución de los datos es simétrica o asimétrica alrededor de su media. Una distribución es simétrica si los valores a la derecha y a la izquierda de la media son aproximadamente iguales. Si la distribución es asimétrica, esto significa que los valores en un lado de la media son más dispersos que en el otro.

Apuntamiento (Curtosis): La curtosis mide qué tan “puntiaguda” o “achatada” es la distribución de los datos en comparación con una distribución normal. Una curtosis positiva indica que la distribución tiene picos más altos y colas más pesadas que una distribución normal (distribución leptocúrtica), mientras que una curtosis negativa indica que la distribución tiene picos más bajos y colas más ligeras que una distribución normal (distribución platicúrtica).

Estas medidas nos ayudan a comprender mejor la forma en que los datos están distribuidos y a identificar posibles características únicas de la distribución.